3.1 Harvey Doğrusallık Testi
Literatürde doğrusallığın incelendiği testlerin çoğu doğrusallığı incelenen serinin durağan olduğu varsayımından yola çıkarak analiz yapmaktadırlar. Bu durum düzeyde durağan olmayan serilere bu testlerin uygulanması durumunda elde edilen sonuçların hatalı olmasına neden olmaktadır. Harvey vd. (2008) doğrusallık testi ise serilerin durağanlık durumları hakkında bir varsayım yapmadan, incelenen serinin doğrusallığını test etmektedir. Harvey vd. (2008) doğrusallık testi, temelde iki farklı doğrusallık testinin ağırlıklı ortalaması alınarak hesaplanmaktadır:
$W_\lambda=\{1-\lambda\} W_s+\lambda W_u$
(1)
Bu testlerden ilki( WS ), incelenen serinin durağan olduğu varsayımıyla serinin doğrusallığını incelerken; diğeri ( WU ) ise, incelenen serinin durağan olmadığı varsayımını kullanarak, doğrusallık incelemesi yapmaktadır. Burada l ağırlığı göstermekte ve şu şekilde hesaplanmaktadır:
$\lambda(U, S)=\exp \left(-g\left(\frac{U}{S}\right)^2\right)$
(2)
Burada g, U ve S sırasıyla pozitif sabit bir değeri, incelenen seriye uygulanan birim kök test istatistiğini ve durağanlık test istatistiğini göstermektedir. Harvey vd. (2008) doğrusallık testi için doğrusallık temel hipotezini $\left(H_{0, S}: \delta_2=\delta_3=0\right)$, doğrusal olmama alternatif hipotezine $\left(H_{1, S}: \delta_2 \neq 0 \quad\right.$ ve/veya $\left.\quad \delta_3 \neq 0\right)$ karşın test edebilmek için; aşağıdaki Wald istatistiği kullanılmaktadır (Harvey vd., 2008):
$W_s=T\left(\frac{K K T_s^r}{K K T_s^u}-1\right)$
(3)
Burada $K K T_s^r$ değeri, temel hipotez altındaki kısıtın uygulanmasıyla elde edilen regresyon modelinin kalıntı kareler toplamını (KKT), $K K T_s^u$ ise kısıtsız modelin için hesaplanan KKT' yi göstermektedir. T ise, gözlem sayısıdır. $W_s$ test istatistiği, 2 serbestlik dereceli Ki-kare dağılıma uygunluk göstermektedir. Diğer taraftan, $H_{0, U}: \varsigma_2=\varsigma_3=0$ temel hipotezi, ( $H_{1, U}: \varsigma_2 \neq 0$ ve/veya $\varsigma_3 \neq 0$ ) alternatif hipotezine karșın așağıdaki Wald test istatistiği kullanılarak smanmaktadır (Harvey vd., 2008):
$W_u=T\left(\frac{K K T_U^r}{K K T_U^u}-1\right)$
(4)
Burada $K K T_U^r$ kısıtlı modelden elde edilen KKT' yi, $K K T_U^u$ ise, kısıtsız modelden elde edilen KKT' yi göstermektedir. $W_U$ istatistiği, 2 serbestlik dereceli Ki-kare dağılıma uygunluk göstermektedir. Hesaplanan bu iki test istatistiğinin ağırlıklı ortalamasıyla elde edilen $W_\lambda$ test istatistiği de iki serbestlik dereceli ki-kare dağılımına uymaktadır (Harvey vd., 2008).
3.2 Kapetanios, Shin ve Snell (KSS) Birim Kök Testi
Kapetanios, Shin ve Snell (KSS, 2003) doğrusal olmayan birim kök testi için aşağıdaki yumuşak geçişli birinci dereceden otoregresif modeli (smooth transition autoregressive, STAR) önermişlerdir:
$y_t=\beta y_{t-1}+\gamma y_{t-1}\left[1-e^{\left(-\theta y_{t-d}^2\right)}\right]+\varepsilon_t$
(5)
Bu modele birinci dereceden Taylor açılımı uygulandığında aşağıdaki model elde edilmektedir (Kapetanios vd., 2003):
$\Delta y_t=\delta y_{t-1}^3+u_t$
(6)
Elde edilen bu model $\mathrm{t}$ tipi test istatistiklerinin uygulanması için uygun bir modeldir. Sirasıyla $\delta=0$ ve $\delta<0$ temel ve alternatif hipotezleri için olușturulan test istatistiği ise așağıdaki șekildedir:
$t_{N L}=\hat{\delta} / \operatorname{s} \cdot h \cdot(\hat{\delta})$
(7)
Burada $\hat{\delta}, \delta$ parametresinin EKK tahmini iken $s \cdot h \cdot(\hat{\delta})$ ise $\hat{\delta}$ parametresinin standart hatasinı ifadeletmektedir.
Open Access
View Full Article|
Download PDF
